Menarik Peta Masalah

Berikut adalah beberapa terjemahan dari halaman ini ke dalam bahasa lain:

Don Knuth bekerja pada Volume 4 dari Seni dari Pemrograman Komputer . Salah satu bab adalah pada Binary Decision Diagram dan aplikasi mereka, topik yang saya temukan sangat menarik. Knuth menunjukkan bahwa berbagai masalah grafik yang menarik dapat dikodekan sebagai formula Boolean, dan berasal BDD mewakili semua kemungkinan solusi untuk masalah ini. Seringkali ada semacam kriteria optimasi, dan itu cukup mudah untuk mengekstrak "terbaik" solusi dari BDD oleh algoritma pemrograman sederhana dinamis.

Berikut kami tampilkan beberapa contoh, menggunakan grafik yang mewakili 48 negara bagian yang bersebelahan, dengan node untuk setiap negara, dan keunggulan antara dua negara jika mereka berbagi perbatasan. Untuk setiap peta, jika Anda klik pada gambar dia Anda akan mencapai dokumen sumber dalam format yang SVG . Berikut adalah grafik, lokasi node di ibukota negara:

Capital Tours

Misalkan Anda ingin mengunjungi ibukota 48 negara dengan persyaratan bahwa Anda hanya melewati setiap negara sekaligus. (Dengan kata lain, Anda ingin mencari jalur Hamiltonian dalam grafik.) Seperti yang Anda lihat dari peta di atas, jika Anda mengikuti rute yang paling langsung antara ibukota negara, Anda akan sering melewati negara bagian lain, atau dalam kasus pergi dari Lansing, Michigan ke Madison, Wisconsin, Anda akan berkendara di Danau Michigan. Sebaliknya, Anda harus mengambil rute mengemudi terpendek yang tetap dalam dua negara untuk setiap kaki dari perjalanan. Mari kita sebut dengan rute seperti Tour Capital . Berikut ini adalah diagram dari rute yang diijinkan antara negara-negara:

Berdasarkan analisis sederhana, ditambah Knuth upaya, kita dapat mengatakan hal berikut:

Semua wisata harus memulai atau mengakhiri di Maine, karena Maine hanya memiliki tetangga tunggal. Kami akan menggunakan Maine sebagai titik awal.
Semua tur harus berakhir di luar New York, karena merupakan titik artikulasi.
Ada 68.656.026 modal wisata yang berbeda secara keseluruhan.

Berikut adalah tur ibukota terpendek, total 11.698 mil:

Berikut adalah tur ibukota terpanjang, dengan total 18.040 mil:

Grafik Mewarnai

Kelas lain yang menarik dari masalah melibatkan mewarnai peta. Aturannya adalah bahwa tidak ada dua negara yang berdekatan dapat memiliki warna yang sama. Terkenal Empat Warna Teoremamenyatakan bahwa setiap graf planar dapat diwarnai dengan paling banyak empat warna.

Karena BDD mengkodekan semua kemungkinan solusi untuk formula Boolean, kita dapat dengan mudah menghitung berapa banyak solusi ada. Untuk pewarnaan graf, kita menyesuaikan jumlah kami untuk menghilangkan simetri karena penugasan sewenang-wenang nilai warna (4! Kasus simetris untuk 4-mewarnai).

Untuk mewarnai berdekatan 48 negara, ada 533816322048 mungkin pewarna. (Ini adalah 1/2 jumlah yang dilaporkan oleh Knuth, karena petanya termasuk Washington, DC sebagai 49 "negara," dan itu dapat diberikan salah satu dari dua warna tidak digunakan untuk Maryland dan Virginia.) Berikut adalah beberapa contoh menarik dari pewarna khusus:

Sebuah pewarna seimbang, di mana setiap warna yang digunakan untuk tepat 12 negara. Ada 12554677864 pewarna tersebut, yang merupakan sangat tinggi 2,4% dari semua pewarna mungkin.
Sebuah pewarna tidak seimbang, di mana salah satu warna (hijau) digunakan sesedikit mungkin (2 negara). Hanya ada 288 cara untuk mewarnai peta sehingga satu warna akan digunakan hanya dua kali.
Sebuah pewarna tidak seimbang, di mana salah satu warna (kuning) digunakan sebanyak mungkin (18 negara). Ada 71.002.368 cara untuk mewarnai peta sehingga satu warna akan digunakan 18 kali.
Menggabungkan kedua. Pewarna menggunakan warna 2, 13, 15, dan 18 kali. Urutan ini 1) dari kiri ke kanan, menggunakan setiap warna dalam suksesi untuk jumlah paling sedikit mungkin kali, dan 2) dari kanan ke kiri, menggunakan setiap warna dalam suksesi untuk jumlah yang paling mungkin kali. Ada 24 solusi tersebut.

Dari perspektif program pewarnaan graf, peta AS 48 negara cukup sederhana. Untuk peta yang lebih menantang, lihat halaman web pada McGregor Grafik .