Ungar-Leech Tujuh Pewarnaan dari Torus
oleh
Norton Starr
Angka-angka di atas menunjukkan dua sisi dari sebuah torus yang digambar peta tujuh negara, masing-masing menghubungi semua enam lainnya. [Klik di kedua gambar untuk tampilan lebih besar.] Ini menunjukkan bahwa teorema Heawood, yang menegaskan bahwa setiap peta di torus yang dapat benar diwarnai dengan paling banyak tujuh warna, yang terbaik mungkin.(Pembatasan wajar, seperti persyaratan bahwa setiap negara harus terhubung (tidak ada bagian terpisah seperti Alaska) diduga.) The peta asli dari tujuh negara diatur sehingga memaksa penggunaan tujuh warna, telah dikerjakan oleh Percy J. Heawood. Penggambaran simetris ditampilkan di sini secara independen dikembangkan oleh Peter Ungar dan John Leech. Saya membuat model yang ditampilkan dari Hydrostone pada tahun 1972. diameter luar Its adalah 9 inci, dan terdiri dari dua bagian toroidal direkatkan. Setiap setengah berperan dalam cetakan kayu disiapkan untuk saya oleh toko mesin dari Departemen Fisika.
Referensi dan Keterangan
Anatol Beck, Michael N. Bleicher, dan Donald W. Crowe menunjukkan bagaimana seseorang dapat membayangkan pembangunan dan pewarna dari torus seperti di Excursions ke Matematika, Layak Pub., 1969. (Lihat angka warna pada gambar muka, menghadap halaman judul , dan (setara) gambar monokrom pada p 67.) buku ini telah diperbarui dan diterbitkan kembali sebagai.Kunjungan ke Matematika: The Millennium Edition . (paperback) oleh AK Peters, Ltd, 2000. (Lihat p 64.)
sarah-marie Belcastro dan Carolyn Yackel dirancang dan direkayasa fabrikasi dari torus menampilkan tujuh negara, masing-masing menghubungi enam lainnya. Pekerjaan yang cukup terlibat dalam pengembangan ini dijelaskan dalam bab informatif mereka "The Seven-Colored Torus: matematis menarik dan trivial untuk membangun" untuk buku yang timbul dari G4G7, Homage ke Pied Puzzler , Ed Pegg Jr., Alan H. Schoen, dan Tom Rodgers, eds., realisasi kaitan AK Peters, Agustus 2008. Yackel untuk ini diilustrasikan dalam bab mereka. Hal ini juga muncul di sini, di sebelah kanan pada gambar berjudul "Doughnut Matematika."
Ilustrasi yang baik lainnya, bersama dengan beberapa sejarah, diberikan dalam tiga halaman terakhir dari HSM Coxeter, The empat warna masalah peta, 1840-1890, The Guru Matematika 52(April, 1959), 283-289.
Sebuah panduan untuk menggambar tujuh bagian, torus disediakan pada halaman 168 dari M Model athematical (2 nd ed.), H. Martyn Cundy dan AP Rollett, Oxford University Press, 1961. (Sebagian dari batas-batas sendiri terletak dengan menjalankan string tegang antara pasangan poin pada model, metode yang disarankan oleh Geoffrey A. Wilson, seorang mahasiswa dalam kursus saya Geometri dan Matematika terbatas, semi 1972.)
Sebuah gambar dari torus plester saya muncul di sampul depan dari Explorations in Topologi: Peta Mewarnai, Permukaan, dan Simpul , David Gay, Elsevier, 2007.
Susan Goldstine (Amherst College, 1993) menampilkan pada dirinya situs berbagai tujuh pewarnaan peta di tori tidak biasa, bersama dengan template dan pedoman untuk konstruksi. Lihat juga hal. 113 bab nya Purse Fortunatus dalam Membuat Matematika dengan Needlework , sarah-marie Belcastro dan Carolyn Yackel, eds., AK Peters, Ltd, 2008.
Konstruksi pertama yang diketahui dari peta tujuh bagian, torus, masing-masing menghubungi masing-masing dari enam lainnya, diberikan oleh Percy J. Heawood, pelopor dalam studi mewarnai peta. Lihat nya Teorema Peta-warna, Quarterly Journal of Pure dan Matematika 24 (1890), 332-338. Sebuah gambar lebih mudah diakses dari peta ini muncul di p. 114 dari Grafik Teori 1736-1936 , NL Biggs, EK Lloyd, dan RJ Wilson, Oxford Univ. Pr., 1976.
Coxeter (op. Cit.) Atribut representasi simetris dari tujuh daerah di torus yang ditampilkan di atas untuk John Leech pada tahun 1953. See John Leech, Seven Region Maps pada Torus, The Matematika Gazette , 39 , No. 328 (Mei 1955) , 102-105.
Lintah mengakui (catatan kaki, p. 103) kesetaraan penting dari skema untuk yang di Peter Ungar, Pada Diagram Mewakili Maps, Journal of London Masyarakat matematika , 28 (1953), 336-342. Pada gilirannya, Ungar mengakui diseksi serupa maka belum dipublikasikan dari Leech (catatan kaki, p. 342.)
